The Mandelbrot set (German)


 

Mike's Mandelbrot Explorer 1.0 - Freeware Programm zum erforschen der Mandelbrot-Menge (Download zip-Datei) - geschrieben 2005 in Delphi

 

 

Die Mandelbrot-Menge

Das Bild das Sie hier sehen ist die so genannte Mandelbrot-Menge, welche wegen ihrer Form auch Apfelmännchen genannt wird. Die Mandelbrot-Menge ist ein von Benoît B. Mandelbrot 1980 entdecktes Fraktal, und wird oft als das formenreichste geometrische Gebilde bezeichnet, das überhaupt bekannt ist. Dieser außerordentliche Formenreichtum zeigt sich an stark vergrößerten Ausschnitten des Randes. Dieses Programm bietet Ihnen die Möglichkeit per Maus in das Apfelmännchen hineinzuzoomen und es so zu erforschen.

Wenn man die Bilder betrachtet, könnte man meinen, dass sich dahinter ein riesiger Aufwand an Arbeit und Mathematik verbirgt. Dabei ist die rekursive Formel   Z(n+1) = Z(n)2 + C   das ganze Geheimnis, das hinter den kompliziert aussehenden Bildern steckt. Die einzige Besonderheit dabei ist, dass die Variablen nicht für reelle sondern für komplexe (imaginäre) Zahlen stehen. Das Verhalten eines z-Wertes, welcher zu Beginn der Rekursion immer auf Null gesetzt wird, hängt dabei ganz erheblich vom entsprechenden c-Wert ab. Die c-Werte, bei denen die z-Werte nach einer bestimmten Anzahl von Durchgängen (Iterationen, z.B. 100) eine bestimmte Länge (z.B. 2) noch nicht überschritten haben, gehören zur so genannten Mandelbrot-Menge.

Entstehung der Computerbilder

Da komplexe Zahlen in einem Koordinatensystem dargestellt werden können, kann man jedem Punkt im Bildschirmkoordinatensystem einen Punkt im Koordinatensystem der komplexen Ebene zuordnen. Der Ursprung der komplexen Zahlenebene liegt beim Startbild in der Mitte.

Der Computer geht nun zeilen- und spaltenweise den Bildschirm durch und entscheidet bei jedem Bildschirmpunkt durch obige Rechnung, ob der zugehörige Zahlenebenenpunkt c zur Mandelbrot-Menge gehört oder nicht.

Gehört der Zahlenpunkt zur Mandelbrot-Menge wird er schwarz gefärbt, alle anderen Punkte werden farbig. Die Farbe hängt davon ab, wie viele Durchläufe (Iterationen) bis zum Erreichen einer bestimmten Pfeillänge nötig sind.

Durch die Färbung erhält man nicht nur schönere Bilder, es werden auch Teile der Mandelbrot-Menge sichtbar, die sonst nicht zu erkennen wären, weil sie zu klein sind.

Erklärung der Schaltflächen und Menüfunktionen

Zoom
Mit der linken Maustaste können Sie auf dem großen Bild einen quadratischen Bereich markieren. Nach drücken der Returntaste oder der Schaltfläche "Zoom" wird dieser Ausschnitt der Mandelbrot-Menge vergrößert dargestellt. Die aktuellen Koordinaten, Iterations- und Farbeinstellungen werden dabei berücksichtigt. Nach Beendigung des Zeichenvorgangs ist ein akustisches Signal (Ding) zu hören.

Sind nach einer Vergrößerung zu viele schwarze Flächen zu sehen, erhöhen Sie die Iterationszahl. Mit Anzahl der Iterationen steigt auch der Rechenaufwand, so dass die Generierung der Bilder dann etwas mehr Zeit in Anspruch nehmen kann. (Berechnung in Echtzeit)

Wenn nach einem Zoom die Koordinaten (r1, i1) gleich (r2, i2) sind, haben Sie die Grenze der Rechengenauigkeit erreicht. Es ist dann kein weiterer Zoom möglich. Ein Vorbote dieser Grenze kann ein Bild aus horizontalen oder vertikalen Linien sein. Danach erscheint nur noch eine einfarbige Fläche.

Das kleine Apfelmännchen dient zur Orientierung und zeigt Ihnen immer ganz genau an welcher Stelle Sie sich in der Mandelbrot-Menge befinden. (weißer Punkt oder Rahmen)

Rückzoom
Durch drücken der Schaltfläche "Rückzoom" können die Vergrößerungen bzw. Veränderungen schrittweise rückgängig gemacht werden. Geladene Bilder haben den Status eines Ausgangsbildes. Somit ist ein erstes Rückzoomen bei ihnen nicht möglich.

Neu
Das Programm kehrt zum Ausgangsbild zurück, wobei der aktuelle Farb-Modus beibehalten wird. Der zu Beginn eingestellte Farb-Modus heißt "Start". (siehe "Farb-Modus auswählen")

Koordinaten
Der jeweilige Bildausschnitt der komplexen Zahlenebene ist durch zwei Koordinaten gegeben. (r1, i1) ist die obere, linke Ecke. (r2, i2) ist die untere, rechte Ecke. Dabei liegen r1 und r2 auf der reellen Achse, i1 und i2  auf der imaginären Achse. Die aktuellen Koordinaten können auf der rechten Seite des Programmfensters abgelesen werden. Die manuelle Eingabe von Koordinaten ist unter "Grafik/Koordinaten eingeben" möglich.

Iterationen
Anzahl der Formel-Durchläufe die bis zum Erreichen einer bestimmten Pfeillänge nötig sind. Die Iterationszahl kann auch manuell in das zugehörige Feld eingegeben werden. (siehe "Entstehung der Computerbilder" und "Zoom")

Grafik
Die Schönheit bzw. Wirkung der Bilder hängt stark von der Farbwahl ab. Unter dem Menüpunkt "Farb-Modus kreieren" können Sie Selbst den Farbverlauf bestimmen. Die Beispiele unter "Bild auswählen" und "Farb-Modus auswählen" geben Ihnen Anregung wie "Farbwert" und "Farbintensität" unter verschieden Werten wirken. Lassen Sie ruhig mal dasselbe Bild mit verschiedenen Farb-Modi darstellen. Sie werden sich wundern wie unterschiedlich die Wirkung ist. Das Programm ist optimiert für eine Bildschirmauflösung von 1024 x 768 Pixel.

Bilddaten laden
Die Koordinaten, Iterations- und Farbinformationen eines vorher unter "Bilddaten speichern" gespeicherten Bildes werden aus der entsprechenden Text-Datei (.ini) gelesen.

Bilddaten speichern
Die aktuellen Koordinaten, Iterations- und Farbinformationen werden als Text-Datei (.ini) gespeichert. Sie haben dann die Möglichkeit später in diesem Bild weiterzuzoomen.

Bild speichern
Das aktuelle Bild wird als JPEG-Datei gespeichert.

Bild drucken
Das aktuelle Bild wird zentriert ausgedruckt. Dabei hängt die Größe des Bildes von der Auflösung des Druckers ab (dpi). Bessere Duckergebnisse erzielt man natürlich mit einem professionellen Grafikprogramm.

Screen speichern
Das aktuelle Programmfenster wird als JPEG-Datei gespeichert. Falls die zugehörigen Koordinaten und der Ort des Zooms von Interesse sind.

Screen drucken
Das aktuelle Programmfenster wird zentriert ausgedruckt.

Copyright
Dieses Programm ist Freeware. Das bedeutet, dass der Programmierer noch alle Copyrightbestimmungen besitzt. Daher darf es kopiert und kostenlos weitergegeben aber nicht verändert werden.